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拓撲向量空間

拓撲向量空間是泛函分析研究中其中一個基本結構。顧名思義就是要研究具有拓撲結構的向量空間。

拓撲向量空間主要都是函數空間，在上面定義的拓撲結構就是函數列收歛的條件。

希爾伯特空間及巴那赫空間是典型的例子。

目录

[编辑] 定義

一個拓撲向量空間 X 是佈於一個拓撲域 K （通常取實數或複數域）上的向量空間，其上帶有拓撲結構使得向量加法 X × X → X 與純量乘法 K × X → X 為連續映射。

註：某些作者也要求 X 是豪斯多夫空間，更有要求其為局部凸空間者（例如 Fréchet 空間）。一個拓撲向量空間是豪斯多夫空間的充分條件是該空間為 T1 空間。

佈於 K 上的拓撲向量空間範疇通常記為 TVSK 或 TVectK，其對象為佈於 K 上的拓撲向量空間，態射則為連續的 K-線性映射。拓撲向量空間的同構是既是同胚也是線性的映射。

[编辑] 例子

所有線性賦範向量空間都是拓撲向量空間的例子。因此所有巴拿赫空間及希爾伯特空間也是這些例子。

[编辑] 函數空間

更多資料：函數空間

在數學分析中應用的拓撲向量空間主要是函數空間。較常見的例子有：

  • C(X)：拓撲空間 X 上的連續函數空間，其拓撲由一族半範數 \|f\| := \sup_{x \in K} |f(x)| 定義，其中 K 遍取 X 中的緊子集。
  • C0(X)：拓撲空間 X 上的緊支撐集連續函數空間，拓撲由範數 \|f\| := \sup |f(x)| 定義。
  • Lp空間：測度空間 (X,μ) 上滿足 \int |f|^p \mathrm{d}\mu < +\infty 的函數空間，拓撲由範數 \|f\|_p := (\int |f|^p \mathrm{d}\mu < +\infty)^{1/p} 定義，其中 p \in [1, +\infty]
  • 索伯列夫空間：偏微分方程理論中常用的空間，詳見主條目索伯列夫空間。
  • 分佈：一種廣義函數理論，用以定義並研究偏微分方程的廣義解。全體分佈構成一個拓撲向量空間。
  • Schwartz 空間：又稱快速遞減函數空間，定義為 \mathcal{S} \left(\mathbb{R}^n\right) := \{ f \in C^\infty(\mathbb{R}^n) \mid ||f||_{\alpha,\beta} < \infty\, \forall \, \alpha, \beta \}，其中 α,β 為多重指標，其中的半範數由 ||f||_{\alpha,\beta}=||x^\alpha D^\beta f||_\infty 給出。此空間的重要性主要在於傅立葉變換理論。

[编辑] 積向量空間

當賦予乘積空間後，拓撲向量空間的家族的笛卡兒乘積都是拓撲向量空間．例如，X是f : R → R函數的集合. X可以被乘積空間RR來確定的，並帶有自然的乘積空間．有了這個拓撲，X成了拓撲向量空間，稱呼為逐點收斂的空間．命名的原因是如果(fn) 是X集合內元素的序列而對於所有實數x fn(x)都有一個極限 f(x) ，那麼fn在X集合內有一個極限f．這個空間就是完整但不能賦範．

[编辑] 拓撲結構

向量空間對加法構成阿貝爾群，拓撲向量空間的加法逆運算 v \mapsto -v 是連續的（因為 -v = (-1) \cdot v），因此拓撲向量空間可視為可交換的拓撲群。

特別是：拓撲向量空間是一致空間，因此可以談論完備性、一致收斂與一致連續。向量運算（加法與純量積）是一致連續的，因此拓撲向量空間的完備化仍為拓撲向量空間，原空間在其中是個稠密的線性子空間。

向量運算不只連續，實則還是同胚，因此我們可以從原點附近的一組局部基重構整個空間的拓撲。局部基可由以下兩種開集組成：

  • 吸收集：\forall v \in E \quad \exists \alpha \in \mathbb R_+^*\quad \forall \lambda \in K \quad |\lambda|\le \alpha \Rightarrow \lambda v \in U；事實上，原點的任何鄰域都是吸收集。
  • 平衡集：\forall \lambda \in K \quad \forall v \in E\quad |\lambda|\le 1 \Rightarrow \lambda v \in U

一個拓撲向量空間可度量化的充要條件是：（一）它是豪斯多夫空間（二）原點有一組可數的局部基。

拓撲向量空間之間的線性函數若在某一點連續，則在整個定義域上連續。一個線性泛函連續的充要條件是其核為閉子空間。

有限維向量空間有唯一的豪斯多夫拓撲，因此任何有限維拓撲向量空間都同構於 Kn（帶上確界範數：\| (a_1, \ldots, a_n)\| := \sup |a_i|）。對於豪斯多夫拓撲向量空間，有限維等價於局部緊。

[编辑] 拓撲向量空間的種類

在應用中，我們常考慮具有一些附帶拓撲性質的空間，以下是一些常見的種類，大致以其性質之「良好」與否排序。

  • 局部凸拓撲向量空間：每一點都有一組由凸集構成的局部基。一個空間是局部緊若且唯若其拓撲可由一組半範數定義。局部緊性對某些「幾何」論證（例如 Hahn-Banach 定理）至關重要。
  • F-空間：由一個具平移不變性的度量定義的完備拓撲向量空間，例子包括Lp空間（p > 0）。
  • Fréchet 空間：局部凸的 F-空間。許多有趣的函數空間都是 Fréchet 空間。
  • 核空間：使得映至任何巴拿赫空間的有界算子均為核算子的 Fréchet 空間。
  • 賦範向量空間與半賦範向量空間：顧名思義，即其拓撲由一範數或一族半範數定義的拓撲向量空間。在賦範向量空間中，一算子的連續性等價於有界性。
  • 巴拿赫空間：完備賦範向量空間。泛函分析學大部奠基於此。
  • 自反巴拿赫空間：使得自然映射 V \to V^{\wedge\wedge} 為同構的巴拿赫空間。非自反空間的重要例子之一是 L1 空間。
  • 希爾伯特空間：拓撲由一內積定義的拓撲向量空間。雖然這類空間可能是無窮維的，大部分有限維上的幾何論證仍可照搬至此。
  • 歐幾里得空間：即有限維的豪斯多夫拓撲向量空間。

[编辑] 對偶空間

拓撲向量空間 V 的連續對偶空間定義為所有連續線性泛函構成的空間 V * ，其拓撲可定義為使對偶配對 V^* \times_K V \to K: (\lambda, v) \mapsto \lambda(v) 為連續映射的最粗拓撲（稱為弱-*拓撲）。當 V 為巴拿赫空間時， 可以藉算子範數在 V * 上定義更細的拓撲，然而弱-*拓撲具有一些緊緻性定理（Banach-Alaoglu定理），因而在應用中仍相當重要。

[编辑] 文獻

  • A Grothendieck: Topological vector spaces, Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1973. ISBN 0-677-30020-4
  • G Köthe: Topological vector spaces. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 159, Springer-Verlag, New York, 1969. ISBN 0-387-04509-0
  • Schaefer, Helmuth H. (1971). Topological vector spaces. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98726-6. 
  • Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.. 
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